Mathematical Modeling
2025 数学建模 B 题：外延层厚度无损测量
围绕第三代半导体外延层厚度无损测量问题，基于红外干涉谱建立外延层厚度反演模型，用 IRLS 稳健全谱拟合处理实测谱噪声，并在多光束干涉条件下引入 Fresnel-Airy 修正。
把题目给出的红外反射谱转化为“波数-反射率-折射率-厚度”的反演问题，并区分单次反射干涉与多光束干涉两类物理场景。
采用 SG 平滑、移动中位数去离群、极值/FFT 初值估计和 Tukey 权 IRLS，避免少量异常谱点直接拉偏厚度估计。
在折射率侧合并 Cauchy 色散与 Drude 自由载流子影响，在反射侧处理斜入射 Fresnel、s/p 偏振平均和额外相位修正。
用多光束判别与 Fresnel-Airy 腔模型修正 Fabry-Perot 效应，并输出 RMSE、跨角度一致性和相对不确定度。
Snapshot
结果指标
7.23 μmSiC 修正厚度10° 与 15° 多光束修正结果约 7.249 / 7.217 μm
≈0.06修正后 RMSESiC 多光束修正两角度 RMSE 约 0.0592 / 0.0609
2.2%相对不确定度SiC 多光束修正结果相对不确定度约 2.19% / 2.25%
Mermaid
建模链路
flowchart LR
A["附件红外反射谱"] --> B["预处理与异常点控制"]
B --> C["极值 / FFT 初值"]
C --> D["IRLS 全谱拟合"]
D --> E{"多光束干涉显著?"}
E -- 否 --> F["单次反射厚度估计"]
E -- 是 --> G["Fresnel-Airy 修正"]
F --> H["RMSE / 置信区间 / 跨角度复核"]
G --> HTimeline
推进过程
2025.09.05梳理 B 题附件、红外干涉谱数据和外延层厚度公式，搭建 LaTeX 报告与 MATLAB 处理框架。
2025.09.06完成数据预处理、极值寻峰、FFT 兜底初值和单次反射模型的全谱拟合。
2025.09.07补充多光束干涉判别、Fresnel-Airy 修正、不确定度分析和结果图表。
2025.09.13整理最终论文、MATLAB 源码、结果文本与相关文件包。
Methods
方法与工具
红外干涉模型以空气、外延层、衬底三层体系为基础，建立反射率、波数、入射角、折射率和外延层厚度之间的关系。
Cauchy-Drude 色散用 Cauchy 项描述基础色散，用 Drude 项表达自由载流子对折射率的影响，使模型不只依赖常数折射率。
IRLS 稳健拟合以初值估计进入非线性全谱拟合，并用 Tukey 权迭代降低异常谱点对厚度参数的影响。
Fresnel-Airy 修正当多光束干涉不可忽略时，将单次干涉模型切换为 Airy 腔表达，修正 Fabry-Perot 效应造成的系统偏差。
不确定度分析同时报告残差、权重分布、跨角度差异、相对不确定度和 95% 置信区间，避免只展示一个厚度数值。
MATLAB完成数据读取、平滑、寻峰、FFT 初值、非线性拟合、误差统计和结果可视化。
Gallery
图表与结果
Resources